Math test 5 pour le 28/04/07

Oui moi aussi Frédéric.
Ca va bien ?

Pourquoi quand on trace sous Maple la courbe (L) = f(r*costheta,r*sin théta) = r^2*(r^2-2*cos(2*theta)), on trouve un cercle et pas une lemiscate.
On trouve la lemiscate en traçant f(x,y) ??

Salut à tous,

Laplacien de r = L(r)

L(r) = d²r/dx²+d²r/dy² = 1/r -x²/r^3 + 1/r -y²/r^3
c'est en fat le calcul de 2a)

L(ln(r)) = d²ln(r)/dx² + d²ln(r)/dy²

on a [ln(u)]' = u'/u

on dérive 2 fois ln(r) avec r = racine (x²+y²)

dln(r)/dx = x/r² et dln(r)/dy = y/r²

d²ln(r)/dx² = (x/r²)' de la forme (u/v)' = (u'v-v'u)/v²

d'où d²ln(r)/dx² = 1/r² - 2x²/4

et d²ln(r)/dy² = 1/r² - 2y²/4

L(1/r)

de la forme (1/u)' = - u'/u²

1ère dérivation de 1/r

d(1/r)/dx = -x/r * 1/r² = -x/r^3
d(1/r)/dy = -y/r^3

2ème dérivation

d²(1/r)/dx² = (-x/r^3)' de la forme (u/v)'

et (v^n)' = n*v^n-1 * v'

d'où d²(1/r)/dx² = -1/r^3 + 3x²/r^5 et d²(1/r)/dy² = -1/r^3 + 3y²/r^5

voilà pour le 2c. Il est possible de vérifier les calculs avec Maple

pour le 2d en fait il faut résoudre l'eq. différentielle du 2b mais je n'arrive pas à démontrer 2b) alors je piétine tjrs sur 2d) si qqn a une idée ??

deltaU = d²U/d²x+d²U/d²y
d'ou

DeltaU=d²F/d²x+d²F/d²y

DeltaU=d²F/d²r * d²r/d²x + d²F/d²r * d²r/d²y
DeltaU=d²F/d²r * (d²r/d²x + d²r/d²y)

d²F/d²r=F''r

et d²r/d²x + d²r/d²y = delta(r)
delta(r)= 2/r -(x²+y²)/r^3
si x²+y²=r² alors delta(r)=1/r

donc

DeltaU=d²F/d²r * (d²r/d²x + d²r/d²y)
DeltaU = F''r/r
C'est dingue je ne trouve pas mieux trouver l'erreur

Pour info sur delta(ln(r)) tu remplace x²+y²=r² alors tu trouve delta(ln(r))=0
et pour delta(1/r)=1/r

j'arrête je deviens fou

Bonsoir,

La solution du 2b et 2d se trouve en page 275 du tome d'analyse 2.

avec ca on retombe sur l'expression de Laplacien de U = F"(r) +1/r * F'(r)

mais je ne comprends pas d'où vient le x²/r² dans l'expression du livre ???

Est ce qqn a les règles de dérivations partielles d'une fct composée de plusieurs variables ?

Vincent et vives les maths....rire

Ce qui manque pour compléter les envois de Vincent et pour démontrer que E-> perpendiculaire à B-> :
Ca revient à dire que E-> scalaire B-> = 0
(-j k-> V -j w A->) scalaire (j k-> vectoriel A->),
en posant P-> = (-j k-> V -dA->/dt)
Q-> = j k->
R-> = A->
On obtient P-> scalaire Q-> vectoriel R-> (produit mixte)
en développant ce produit mixte P-> scalaire Q-> vectoriel R-> =
Px Py Pz
= Qx Qy Qz = Px*Qy*Rz+ Qx*Ry*Pz+...- Pz*Qy*Rx -...-... =0
Rx Ry Rz
(on développe et ou on remplace par les composant de K-> et A-> dans Px, Py, Pz, ...)

Lourd mais ça marche

Bravo j'avais hesité a me lancer a fond

Merci

T'es encore la Fredéric ? J'peux t'appeler ?