Math test 5 pour le 28/04/07

Exercice 1

Déjà des difficultés
I-b
De l'aide pour la méthode de l'identification des extremums
La formule h²f''x²+2hkf'xy+k²f''y²
c'est quoi f''x² dérivée seconde mais de quoi pareil pour f''xy et f''y²
h et k c'est a remplacer par quoi

I-c
Quand je remplace x= rcos(theta) et y=rsin(theta) je trouve
r(r+2cos(2xtheta))=0
Quand je trace en polaire en implicitplot ça fait 1 fleur ????

merci

Bonsoir,

Je planche sur l'exo 3 :
1)
f1(x,y) = x²-y²
f est harmonique si le laplacien de f est nul

d²f1/dx²=2
d²f1/dy²=-2

Laplacien de f1 = 0

f2(x,y) = arctg(y/x)

d²f2/dx² = 2xy/(x²+y²)²
d²f2/dy² = -2xy/(x²+y²)²

Laplacien de f2=0

f3(x,y)= exp(x) * sin(y)

d²f3/dx² = exp(x)*sin(y)
d²f3/dy² = -sin(y)*exp(x)

Laplacien de f3=0

f1,f2,f3 sont des harmoniques.

2a)
dr/dx = x/r et dr/dy = y/r avec r=(x²+y²)^0.5

on dérive une seconde fois et on tombe sur les relations données par l'énoncé

2b)
je sèche
je tombe sur
Laplacien(U) = F"(r)*[x/r + y/r] + (1/r)*F'(r)

Question : quelle est la propriété d'un champ scalaire à symétrie centrale mis à part qu'il ne dépend que de la distance ? Peut-on écrire x/r + y/r =1 ??
Je ne crois pas mais je n'arrive pas à trouver qqch sur le net pour éclaircir ce point.
Avez vous des idées ? Ou bien la solution ??

2c) A la main ou avec Maple pour vérifier ca roule :
Laplacien de r = 2/r - x²/r^3 - y²/r^3
Laplacien de ln(r) = 2/r² - 2x²/r^4 -2y²/r^4
Laplacien de 1/r = -2/r^3 + x²/r^5 + y²/r^5

2d) Je sèche car cela revient à résoudre 2b) mais je pense que la solution est donnée dans 2c) mais je ne la vois pas. Si qqn a une idée, je suis preneur...

Bonne Nuit

Vincent

Je vous rassure j'ai avancé depuis, Mais j'ai encore des points d'ombres

Exercice 1

Pour la lemiscate j'ai retranformé la courbe en fonction de y et x
Soit (x²+y²)²-2(x²-y²)=0
Pas d'idée pour la résoudre pour définir plusieurs fonctions (2 ou4) de y= f(x)

Exercice 2
Ok pareil
mais pour le 2b
le calcul de et F'(r) ou F''(r) on dérive par rapport à x ou y


Exercice 3

Grace a la méthode fourni r.t = xkx+yky+zkz
tout est ok pour la question A

Mais B perpendicul a k alors B.k=0
donc rot(A).k=0 soit j(k^A).k=0
je n'arrive pas me sortir des produits vectoriels dans la demonstration

Eh puis je sais plus alors je vais me coucher.

Merci a tous a bientot

Hello
Exercice I:
I)a) je trouve Grad de f au point (x,y)= 4*x*(x^2+y^2-1) i + 4*y*(x^2+y^2+1)j
je trouve ca un peu bizzzarrrrre,
Pour avoir Grad (f) = 0 on peu seulement avoir
x=0 et y=0 ou
x =+-racine(y^2-1) avec y^2-1 =<0 et y=0
dans les 2 cas y= 0 , d'ou ce qui est sous la racine est négatif !!!!
Je crois être mal parti !! Quelqu'un a t'il une idée ?? La je blocque.

Je reprends a partir de

4*x*(x^2+y^2-1) i = 0
d'ou x²+y²-1=0 et x²+y²=1
dans 4*y*(x^2+y^2+1)j=0 y ne peut prendre aucune autre valeur que 0
Alors si y=0 dans x²+y²=1 alors x=1 et -1
donc 3 solutions
P1(0,0) P2(1,0) P3(-1,0)
a vérifier sur ta courbe en 3d sur maple ou te retrouve ces trois points ou la courbe présente minimum et col

Bon courage

pour le laplacien de 1/r

j'ai -2/r^3 + 3x²/r^5 +3 y²/r^5

Bonne nuit

Bonsoir Frédéric,

Effectivement, j'ai fait une boulette sur le laplacien de 1/r, ta réponse est la bonne. En plus j'avais vérifié le calcul avec l'ami Maple.

J'ai presque fini les 3 exos. Il me reste la dernière question de l'exo 1 et je suis tjrs bloqué sur mon calcul du laplacien de U dans l'exo 3. Concernant la dérivation vectorielle, ca va à peu près.

Je mettrai ce que je pourrai sur le forum demain.
je vais au dodo moi aussi

Vincent

Ok,merci Frédéric.
Pour le II), j'ai du mal à correctement écrire A(r,t). Je vois bien le résultat, mais c'est la transcription de A0 qui me gène.
La dérivée partielle se fait par rapport à l'espace.
Ao(vecteur)=(A0x , A0y, A0z)
k(vecteur)= (kx , ky, kz)
r(vecteur)= (rx,ry,rz)
exp[j*(k(vecteur).r(vecteur) -wt]=exp(j*(kx*rx+ky*ry+kz*rz-wt)
Comment doit on écrire A(r,t)=Ao * exp ....
Peut on l'écrire sous la forme : A(r,t)= [A0x * exp(j*(kx*rx+ky*ry+kz*rz-wt) , A0y * exp(j*(kx*rx+ky*ry+kz*rz-wt) , Az*exp(j*(kx*rx+ky*ry+kz*rz-wt)] ?

Bon il faut continuer, Pour exo
III)1)
f1=0 ... (ok avec vincent)
f3=0 ... (ok avec vincent)
f2 je n'arrive pas à trouver que c'est un harmonique (= 0), je trouve
2*x*y*(x^2-y^2)/[y^4+2*y^2*x^2+x^2*(x^2+1)] !!!!!!!
III)2)a) ... (ok avec vincent)
III)2)b) pour moi F'(r) = 1 et F''(r) =0, donc comme @2U/@x^2+@2U/@y^2 = 1/r, delta U est bien vérifié.

III)2)c)
Delta (r) ... (ok avec vincent)
Delta ln(r) je trouve = 2
Delta (1/r) je toruve 1/r^3
III)2)d) U(x,y) est harmonique si Delta U = 0 , donc si F'(r)= 0 ,soit r=constante ,
Voila pour le III
II)A), j'ai toujour le même pb que mon précédent message !!!!!
II)B) (6) = j*(K(vecteur) . A(veteur) - k/w*V) ? C'est tout ce qu'il veut ??
( 7 ) = -j (K(vecteur)*V+w*A(vecteur)
( 8 ) = j*K(vecteur) vectoriel A(vecteur)

J'ai le meme souci que Frédéric pour cette question pour déduire que E(vecteur) et B(vecteur) perpendicumaires à K(vecteur) ?
Il faut démontrer que E(vecteur) scalaire K(vecteur) =0
B(vecteur) scalaire K(vecteur) =0
E(vecteur) scalaire B(vecteur) =0

I)b) Il faut que je recherche comment on démontre s'il s'agit d'un maximum, d'un col, ou d'un minimum

Bonsoir,

Franck, j'ai écrit le vecteur A comme toi :
(1) A-> = vecteur A
Ax = A0x * exp j(kx*x+ky*y+kz*z-wt)
dAx/dx = A0x * j * kx * exp j(kx*x+ky*y+kz*z-wt)
idem pour dAy/dy et dAz/dz d'où div(A->) = k->.A->.j (en vecteurs) car c'est un produit scalaire

(2) idem pour rot->(A->) sauf que là c'est un produit vectoriel

(3) pour grad->(V)

V(r->,t) = Vo * exp j(kx*x+ky*y+kz*z-wt) = Vo *exp j( r->.k-> - wt)
dV/dx = Vo*kx*j*exp j(kx*x+ky*y+kz*z-wt)
dV/dy = Vo*ky*j*...............................
dV/dz = Vo*kz*j*...............................

(4) et (5)
on derive l'exponentielle (exp u) ' = u' *exp u

(6)

div(A->) + (1/c²)*(dV/dt) = 0
div(A->) = j.k->.A-> cf. (1)
et c = w/k d'où on trouve j.k->.A-> - (jwV)/c²=0

(7) E-> = - grad->(V) - dA->/dt = j (wA-> -k->*V)
avec grad->(V) = cf.(3) et dA->/dt = cf.(4)

( B-> = rot->(A->) = j.k->[prod vectoriel] A->
B est le résultat du produit vectoriel de k-> et A-> donc par définition B-> est perpendiculaire à k->

et je n'ai pas encore fait la dernière question....


Exo I

Je suis d'accord avec Frédéric :
a)
f(x,y)=(x²+y²)²-2*(x²-y²)=x^4+y^4+2*x²*y²-2*x²+2*y²

df/dx = 4x(x²+y²-1)
df/dy = 4y(y²+x²+1)

df/dy = df/dx = 0
on a 3 points (0,0) ; (1;0) et (-1;0) en résolvant les 2 équations
il faut prendre les solutions communes.

f(0,0)=0
f(1,0)=-1
f(-1,0)=-1

b)nature des points = on utilise le développement limité de taylor cf livre page 306/307/308
Dellta' = (f"xy)²-f"x²f"y²

f"x² = 12x²+4y²-4 dérivé seconde de f par rapport à x
f"y² = 12y²+'x²+4 dérivé seconde de f par rapport à y
f"xy = 8xy dérivé seconde de f par rapport au produit xy

en P1(0,0) Delta' = 16 donc >0 il existe 2 racines réelles
F(P)-f(Po) change de signe c'est un col

en P2(1;0) Delta'=-64 donc <0 il n'existe pas de racines réelles
f"x²=8 f"x²>0 donc f(P)-f(Po)>ou=0 donc f passe par un minimum en P2(1;0)

en P3(-1;0) idem que P2(1;0) c'est un minimum.
Je n'ai pas tout compris dans la démonstration du livre mais en appliquant voilà ce que je trouve.


c)coordonnées polaires :
soit @=téta

x=rcos@ et y=rsin@
on remplace dans f(x,y)
je trouve f(x,y) = r²(r²-2COS2@)
f(x,y) = 0 on a r = 0 ou r = =ou- racine (2COS2@)

et puis Maple pour tracer car il le vaut bien.

En revanche pour l'exo III, si quelqu'un à trouver la démonstration du laplacien de U je suis preneur car je n'arrive pas à retomber sur son équation
Il faut résoudre cette equ.diff je crois ?
voili voulou
Vincent

Vincent Pour le laplacien delta U, je sais pas si j'ai été très clair plus haut ??

pour f2(x,y)=arctg(y/x)

rappel : (arctg(u))'=u'/(1+u²) avec u=y/x

df2/dx = (-y/x²)/(1+(y/x)²) = (-y/x²) * (x²/(x²+y²)) = -y/(x²+y²)

d²f2/dx² = (-y/(x²+y²))' de la forme (u/v)' = (u'v-v'u)/v²
avec u = -y u' = 0 et v = x²+y² v' = 2x
d'où d²f2/dx = 2xy/(x²+y²)²

on procède de la même manière avec df/dy et d²f/dy² = -2xy/(x²+y²)²
d'où le laplacien de f2 = 0.

je suis en train de regarder.merci
je te dis cela dans 5 minutes

Ahhhhhhhh quel C.. je crois que je refaisais la dérivée de l'arc tg mais pour le résultat de la première dérivée de l'arc tg, comme si c'était pas assez complique déjà !!!!!!!!
Merci vincent

Non ce n'est pas clair pour moi.

La forme de Laplacien de U dans le devoir est dans le cours mais sans la démonstration.
Pourquoi F'(r) = 1 et F"(r) = 0 ?? Comment trouves tu ces résultats ?

De rien Franck.
A quoi correspond d²U/dx² par rapport à F(r) ?

POur le calcul des laplaciens de r, ln(r) et 1/r
je ne suis pas d'accord avec toi
comment trouves tu laplacien de ln(r)=2 ??
J'ai fais le calcul avec notre ami Maple et je trouve comme lui.
Tu as simplifié qqch ??

C'est vrai que c'est simple peut être trop !!!!!
U(x,y) = F(r) ou F est fonction de la seule variable r
donc F'(r) = 1 et F''(r)= 0

Pour les laplacien ln (r), et 1/r, je vais refaire mes calculs

oui mais r=racine(x²+y²) donc on dérive 2 fois r par rapport à x ou y et non par rapport à r seul enfin je crois sinon je ne vois pas l'intérêt. Mais peut-être que je me pose trop de question ? Pour moi r n'est qu'une simplification pour "alléger" les calculs mais on dérive par rapport à x et à y.

le truc qui me turlupine est que dans le cours, le prof nous a dit que

dU/dx = (dU/dr) * (dr/dx) = F'(r) * dr/dx
dr/dx on connaît c'est la question précédente
quand on rapproche cela de (uv)'=u'v+v"u pour trouver d²U/dx² pour trouver le laplacien de U, je ne tombe pas sur sa forme mais sur

[x/r+y/r]*F"(r) +(1/r)*F'(r)

le x/r +y/r est de trop, je ne vois pas comment le simplifier mais je pense que je me suis gouré quelque part mais voilà je ne vois pas où ???

Si tu as des idées ?

Allez je rends les armes, c'est tout pour moi ce soir, je vais me coucher.
Bonne Nuit Franck
A +
Vincent

La nuit porte conseil, je vais y réfléchir. Pour moi r etait de la forme d'un rayon de composante x et y. r était le module.
J'espère que la petite va bien et que les nuits ne sont pas trop chahutées !!!
Bonne fin de soirée, et courage à tous.

Bonjour everybody,

Pas faux Franck...

y a encore du boulot !!

J'ai vraiment du mal pour la I)b), j'ai beau lire le livre de long en large et en travers, j'ai du mal à saisir la calcul de Delta (discriminent réduit). L'exo du haut de la p308 à l'air explicite, mais je ne voit pas comment ils calculent Delta !!!!! ca doit être devant mon nez pourtant. Je vais essayer de regarder de plus près les exo 13.07 et 13.08.
Je reprend le cour, mais je n'arrive pas à me relire, ça ne concorde pas (mauvais recopiage).
Delta est bien égal à B^2-A*C, quel B, quel A et C ???

Quand je remplace x par rcos@ et y par rsin@
je trouve r²(r²-2cos2@)=0

Alors je vais essayer de t'éclaircir sur mister Taylor d'après ce que j'ai compris dans le livre et avec les cours de Cyrille et Sébastien :

page 306, on a

f(M) = f(Mo) + 0.5 * [ ( h²f"x2(Mo) + 2hkf"xy(Mo) + k²f"y²(Mo) ) + .......
Delta f = f(M) - f(Mo) = 0,5 ..blabla c'est un polynôme P(h,k)
dont le dicriminent réduit delta' = (f"xy)² -f"x2*f"y2

pourquoi le 0,5 ? je ne sais pas ?? Ca fait joli peut-être

P est un polynôme de la forme h² * A + 2hk * B + k² * C
delta ' = B² - A * C

où A = f"x2 est la dérivée seconde de la fct f en x
C = f"y2 est la dérivée seconde de la fct f en y
B = f"xy est la dérivée seconde du terme en xy dans la fct f

d'où f"x2 = 12x²+4y²-4 ; f"y2 = 12y²+4x²+4 ; f"xy = 8xy

d'où delta' = (8xy)² - (12x²+4y²-4)(12y²+4x²+4)

après on calcule ,pour chacun des 3 points
P1(0,0) : P2(1;0) : P3(-1;0) le discriminent réduit
on trouve respectivement delta ' (P1) = 16 : delta'(P2)=-64 : delta'(P3) = -64
et on regarde le signe de la dérivée seconde en x, f"x2 .
page 306 et 307
si delta '(P1) < 0
on a deux possibilités soit f"x2(P1) > 0 alors on a affaire à un minimum, soit f"x2(P1°<0 alors on a affaire à un maximum

si delta' (P1)>0 dans ce cas il s'agit d'un col.

Alors pourquoi on prend la dérivée seconde de f en x et pas en y, je ne sais pas ???
J'applique pour le moment, je penserai à poser la question au prof de maths. Il doit y avoir une ruse de métier la dessous sans doute ?

Maintenant pourquoi le discriminent réduit vaut B²-AC et pas B²-4AC comme on a l'habitude ? je ne sais pas.

J'espère que mes explications vont t'aider.