Math devoir 10-02-2007

Bonjour, j'ai commencé l'exercice I aplli nb complexes
A confirmer et ...
1) je trouve la fonction de transfer T(w) =(3*(RCW)^2+j*(RCW)*(RCW)^2)/(7*(RCW)^2+(RCW)^4+1)

2)G(w)=T0 = Racine ((3*(RCW)^2)^2+((RCW)*(RCW)^2))^2) /(7*(RCW)^2+(RCW)^4+1))

3) G(w) mmaximal pour w0=1/(RC)

G(w0) = 9/8

4)g(w)= 20 log (G(w)/G(w0) = 20 log (8/9 * Racine ((3*(RCW)^2)^2+((RCW)*(RCW)^2))^2) /(7*(RCW)^2+(RCW)^4+1))

g(x) avec X=w/w0
g(x) = 20 log ((8/9 * Racine ((3*(X)^2)^2+((X)*(X)^2))^2) /(7*(X)^2+(X)^4+1))

5) g(w)= 20 log (1/racine2) ou
g(w) = 0

g(w) =< 20 log (1/racine2) = -3.01
ou g(w)>= 20 log 1 = 0

Bon, je me suis pas couché tôt, et je trouve la fin un peu scabreuse !!!!!! pouvez vous confirmer ?

Pour compléter ce qui a été photocopié samedi :
Math Test 2 :
I)5) G(w0) / racine(2) =< G(w) =< G(w0), donc
1 / racine(2) =< G(w) =< 1/3, et
-3.01 db =< g(X) =< 0 db

I)6) Les pulsations passantes w1 et w2 sont en fait les valeurs qui sont solutions de G(w0)/racine (2).
On définit les 2 valeurs de pulsations de coupures (w1 et w2) à la valeur du gain max (de ce même filtre) en db divisé par racine de 2. A ce gain correspond 2 points (les 2 pulsations de coupure. Pour les trouver, il faut résoudre 20 log (1/(3*racine(2))) = 20 log (X/(X^4+7*X^2+1)).
(X/(X^4+7*X^2+1)) Est le gain du filtre en remplaçant w/w0 par X.
20 log (X/(X^4+7*X^2+1)) est le gain du filtre en db.

La résolution de l’équation nous amène à X^4-11*X+1=0.
Si on pose X^2=T, l’eq devient T^2-11*T+1=0. On à une eq du second degrés, Delta =117, et les 2 racine sont T’ et T’’ = 10.9 et 0.0916.
On résoud X= racine de T (car on avait posé X=T^2), on obtient donc 4 solutions.
T’1, T’2, T’’1, T’’2 = 3.3, -3.3, 0.3, -0.3.

Les solution négatives sont à exclure car il n’y a pas de fréquence négative.
Les 2 pulsation de coupures sont donc w1 = 0.3 et w2= 3.3

I)7) Pour le tracé, il y a 3 points pour lesquels
Axe des abscisses X = 0.3, X=1, X=3.3 respectivement avec l’axe des ordonnées -3.01 db, 0, et -3.01 db.
Bon, j'espère que c'est correcte, Pour en discuter, Franck

J'ai une incompréhension avec le module de H

Pour moi c'est

1
---------------------------------
racine (3²-(RCW-1/RCW)²)

donc

1
---------------------------------
racine (11-(RCW)²-1/(RCW)²)

Qui a une idée je bloque pour aller plus loin

le gain est le meme pour wo=1/RC

peut c'est pour ça que ta parabole est dans le sens opposée

bonne nuit

Comment trouves tu 1 Pour le module de racine (3²-(RCW-1/RCW)²) ? Même si (RCW-1/RCW)² = 0, tu as racine (3²) , soit 3.

Bonjour à tous,

Je suis d'accord avec Franck sur ses résultats. Je trouve la même chose. J'ai tracé le diagramme de bode sur du papier semi-log que l'on peut trouver sur le net :
http://perso.orange.fr/jean-paul.davalan/divers/a4/index.html

J'obtiens un beau créneau. C'est un filtre passe bande passif donc avec le créneau vers le haut. Les fréquences de coupures ne sont pas calculables. On sait seulement que X=w/w0. On trouve X1=0,3 et X2=3,3 et X0=1 càd qd w=w0 X=1 et g(x0)=0 dB. wo est inconnu car on ne connaît pas R et C alors on trace comme le suggère le prof g(x) en fct de log(x) où x=w/wo et ca marche très bien.

Les 2 fréquences de coupures sont à mettre sur le graphe à -3dB en ordonnées.

Pour le calcul du module, tu as peut-être fais une erreur de signe ?
Après avoir développé tu tombes sur :
H(jw)= 1/[1 + (- RCw/j) + (1/jRCw) + 2]
H(jw)= 1/[1 + jRCw - (j/RCw) + 2]
H(jw)= 1/[1 + 2 + j(RCw - (1/RCw))]
H(jw)= 1/[3 + j(RCw - (1/RCw))]
module de H(jw) = I1I / I [3 + j(RCw- (1/RCw))] I
= 1 / racine [3² + (RCw-(1/RCw))²]
= 1 / racine [9 + R²C²w² + (1²/R²C²w²) + 2 * RCw * (-1/RCw) ]
= 1 / racine [7 + R²C²w² +(1/R²C²w²)]

Bonne suite
Vincent

Ptite question:

Dans l'exo 1-2 comment calcule t'on le gain G du filtre ?

J'ai bien la fonction de transfert mais pas le gain.

Comment fait on ??

@+
Lionel.

Salut à tous,

J'ai corrigé mon précédent message (en rouge). merci à Franck d'avoir l'oeil.

Le gain est le module de la fonction de transfert.

Pour l'exo 3, J'ai trouvé un site sur la parabole de sureté.
http://perso.orange.fr/olivier.granier/meca/ex_og/surete/surete.htm

où l'on peut trouver l'équation de la parabole.
il s'agit de :
y = -(g/(2*Vo²))*x² + (Vo²/(2*g))

On peut retrouver cette équation en calculant le discriminant de l'équation en tg² du type aX²+bX+c = avec tg(alpha)=X en supposant que delta = 0 donc on a une racine double avec alpha = arctg de (-b/2a) et en simplifiant on trouve l'eq de la parabole de sureté.
A voir aussi , c'est le même exo
http://sciences-physiques.ac-dijon.fr/documents/mecanique/Projectile/mvt_vide.htm

Bonne AM
Vincent

Heu... votre diagramme de Bode, il a une forme triangulaire, entre les 3 points (0,3;-3,01),(1;0) et (3,3;-3,01) ???

Ben non, c'est une patatoide. En tout cas , il faut le dessiner comme ça . de (0.3 ; - 3.01), à (1 ; 0) à (0 ; - 3.01)

Pour parfaire le diagramme, on peut le tracé AVANT 0.3 et APRES 3.3 en faisant une "étude asymptotique"... (Je vous rassure, ce n'est pas de moi...)
C'est tout simple.
Quand "X petit devant 1" ( X<<1), on a :
X²<<1 et 1/X²>>1
donc g(X) = 20 log 3 - 10 log ( 7 + X² + 1/X²) # - 10 log ( 1/X²)
d'où, après simplification :
g(X) # 20 log X
Quand X petit, g(X) se comporte donc comme 20 log X.
On peut en déduire que, quand X varie de 10, g(X) varie de :
20 log (10X) = 20 log 10 + 20 log X = 20 + 20 log X
On dit alors que (...et ce n'est tjs pas de moi) "X varie de 20 dB par décade"...
(Un peu d'avance sur le programme de Maths ne nous fait pas de mal)
On récupère ainsi un autre point qui a comme coordonnées (0.03 ; -23).
En procédant de la même façon pour "X grand devant 1" (X>>1), on trouve que g(X) se comporte comme - 20 log X et on obtient un autre point de coordonnées (33 ; -23)... que l'on ne pas placer sur notre feuille (du-moins si vous avez pris la même échelle que moi) mais dont on peut s'inspirer pour le tracé.

A votre dispo pour en parler demain.

Bonne soirée.

Sébastien