Devoir de Maths n°3

Exo 1 : Gauss-Seidel

i) pour a=4;b=2 9 itérations
ii) pour a=4;b=1 6 itérations
iii) pour a=2;b=3 une infini d'itérations

relaxation = c'est sensé aller plus vite :
i)w=1.1
ii)w=1
iii)w=0.5

Je suis pas tout à fait d'accord pour les équations de C1, C2, C3.
je trouve :
2) valeurs propres :
(4) Lambda 1 = 1 et Lambda 2 = 3
(5) Lambda 1 = 0 et Lambda 2 = 2
(6) Lambda 1 = -1 et Lambda 2 = 5

3) les V propres correspondants :
(4) V1 = 1/2^0.5 (1;-1) et V2 = 1/2^0.5 (1;1)
(5) V1 = 1/2^0.5 (1;1) et V2 = 1/2^0.5 (1;-1)
(6) V1 = 1/2^0.5 (1;1) et V2 = 1/2^0.5 (-1;1)

4) soit dans la nouvelle base :
(4) x^2 + 3*y^2+4/2^0.5 * x - 1 = 0
(5) 0* x^2 + 2*y^2 - 8/2^0.5 * x +4 = 0
(6) -x^2 + 5*y^2+2/2^0.5 * x - 1 = 0

Pour en discuter

J'ai du mal à démarrer l'exo de cinématique.

J'ai commencé l'exo 2 hier soir.

Pour la 1ère question,
je pense que la trajectoire renvoie aux coordonnées en x,y et z du point M qu'il faut extraire du vecteur r(t) = R (cos wt *i + sin wt *j).
On trouve x= R cos wt ; y = R sin wt ; z = 0
Il s'agit d'un cercle de centre O. En fait, il s'agit d'un point dont la trajectoire décrit un cercle.

On peut trouver un exemple similaire dans le livre de géométrie différentielle en page 233 et 243.

En utilisant Maple, on trace le cercle en 2D. Je peine à faire afficher 3 axes pour tracer le cercle en 3D car on est dans R3.

2ème question : montrer que v(t) est perpendiculaire à r(t).
Si 2 vecteurs sont perpendiculaires alors le produit scalaire de ces 2 vecteurs est nul

v(t).r(t)=0 <=> module de r * module de v * cos (r.v) = o car cos (r.v) = 0 car l'angle entre les 2 vecteurs est de 90°

on a aussi v(t).r(t)=rx*vx+ry*vy+rz*vz=0

avec les composantes du vecteur r(t) suivantes : rx = R cos wt ; ry = R sin wt ; rz = 0
pour le vecteur vitesse v(t) on a:

v(t) = dr(t)/dt d'où vx = - R w sin wt ; vy = R w cos wt ; vz = 0

on a donc v(t).r(t) = R cos wt * (- R w sin wt) + R sin wt * R w cos wt +0*0 =0
Donc les 2 vecteurs v(t) et r(t) sont perpendiculaires.

pour la suite de la question, la démonstration est donnée en page 243 du livre de géométrie différentielle. Il faut introduire le vecteur unitaire à la tangente....

En revanche, je sèche pour le moment sur le fameux rotationnel rot(v) ????

Je me suis arrêté là.
Bonne journée
Vincent

Je suis tout à fait d'accord avec vous deux.
Exo III (application géométrique) OK.
Exo II (Cinématique) OK.
Je ne trouve en revanche rien pour le rotationnel. On lui redemandera, il le fera au tableau devant nous...

pour la suite de l'exo II :

3)

a(t) = dv/dt=-w²R(cos(wt)i)-w²R(sin(wt)j)
= -w²R (cos (wt)i + sin (wt)j) = -w².r(t).

CQFD

4)

r(t)^v(t) = [(R²(cos²(wt) + sin²(wt)))^0.5] x [w²R²(sin²(wt) + cos²(wt))]^0.5
= R.wR
= R².w = cste.

5)

La je sais pas. J'ai blablaté sur le mvt est un cercle de rayon R... avec un vecteur v et une accélération a... Mais je vois pas ce qu'il demande.