Test de Maths n°11

Bonjour à tous ,

Après ce WE ensoleillé et une large victoire de l'équipe de France Je vous fais part de mes trouvailles post maths de vendredi pour l'exo 1:

I)
e1(t) = cos(t) * U(t)

e2(t) = exp(-alpha*t) * U(t)

e3(t) = sin (wt) * U(t) / w

e4(t) = exp (-alpha * t) * sin (wt) * U(t) / w

Que pensez vous de ces résultats ? Etes vous ok ?

II) pas fait

III) en cours....

A+
Vincent

Pour ma part je vais commencer par ragarder ça et vérifier avec tes résultat.

J'ai mis sur le serveur qq trucs sur Dirac et les Produits de Convolutions (histoire de me refaire un cours.

J'ai un peu de mal à commencer le I . J'ai essayer de faire h3(t) (comme nous l'avons déjà fait en cours), mais j'ai du mal à faire la différence entre l'inverse de convolution, les diistributions, ....

bon, si on prend h3(t) et en utilisant l'Eq (3) on a
h*e(t)=D(t)
si on passe en Laplace, on a (D''(t)+w².D(t) ) * e(t)
h3(t) = p².D(p)-p.D(0)-D'(0) + w².1= p²+w² (au final)
E(p)= 1/(p²+w²) sauf qu'on connait pas l'inverse de ce type de transformée, mais on connait w/(p²+w²), donc on peut dire E(p)=1/w. (w/(p²+w²)), on sait retrouver l'original en L^-1 :
U(t).(intégrale de 0 à t) (1/w.D(u). sin(w(t-u)) . du et après bon gratons encore un peu !!!!!!!

Ok pour h1, h2, h3, h4, buse que je suis, je retransformais en L-1 comme un pied en inventant des dirac qui n'ont pas lieux d'être !!!!.

I'm agree with you Vinc'.
Mais 'vois pas trop pour la x4. Pas trop envie d'en faire trop non plus (décomposition en éléments simples ?) ...
Sinon dur dur les autres exos.
J'attends le cours de maths de mercredi.

Et bien à première vue e4(t) n'est pas belle à voir :
e4(t) = 1 / ((p + alpha²) + w²)
et bien cela ressemble beaucoup à la ligne 7 de la table des transformées
L7 = 1 / ((p - alpha²) + w² ) pour f(t) = exp (alpha*t)*sin(wt)/w
et bien pour e4(t) c'est exp (-alpha*t)*sin(wt)/w

J'ai vérifié la transformée de Laplace sous l'ami Maple et ça marche.

III)

et bien pour l'equa diff 1, je sèche. je n'arrive pas à transformer le produit de convolution U(t)convolué par e(t)

SI qqn a une idée, je suis preneur.....help

pour e2(t) ok, l'eq.diff est :

e2'(t) + alpha * e(t) = dirac(t)

pour e3(t) :

e"(t) + w²*e(t) = dirac(t)

pour e4(t) :

e"(t) + 2*alpha*e'(t) + (alpha²+w²)*e(t)=dirac(t)

je vous conseille fortement de faire ce calcul avec Maple. Ca fonctionne bien.

Bonne Nuit
A demain
Vincent

I)III) pour moi l'équ du 1 est : e'1(t)+ intégrale de 0 à infini de (U(t).ei(x-t).dx = dirac (t).... après calcul, tout se supprime bien.

J'ajuste la I)III)
'équ du 1 est : e'1(t)+ intégrale de 0 à t de (U(x).e1(t-x).dx = dirac (t)
avec U(x)=1
ce qui donne e'1(t)+e1(t-t)-(e1(t-0)= dirac (t)

donc e'1(t) - e1(t)= dirac (t)

mais cos(wt) n'est pas la solution. J'ai essayé avec e'1(t) + e1(t)= dirac (t) pas mieux

Quelle la forme de l'équadif ?

Petit papa fourier quand tu descendras de ta transformée avec des Diracs par milliers, n'oublie pas tes petits étudiants préférés....

Bon voilà ce que je trouve pour la Q2 de l'exo 1 :

h1(t) = dirac'(t) + U(t) que l'on injecte dans h*e(t)=dirac(t)

et bien je n'arrive pas à le calculer à cause des bornes d'intégrations entre 0 et + oo.
Donc c'est impossible ?
et bien je doute car l'ami Maple arrive à calculer et il trouve que le fouré de Heaviside = Pi * dirac( mu ) - i / mu

Is there an idea in the room ?

h2(t) :
Ok ca marche bien même si Maple patauge dans le yaourt à 0%
C'est exactement le 3ème cas du poly avec les petits graphes

h3(t) :
incomming ...

J'ai mis sur le FTP un pdf concernant la généralisation des dérivées de fonctions avec Fourier

mouais et bien je n'y arrive pas

La nuit porte conseil.

A demain

Vincent

Kikou tlm,

Et si on prends la réponse e1(t)=cos(t) * U(t) plutôt que h1(t) ac des Dirac'

on peut peut etre bien transformer de fourier e1(t) pour retomber sur kelke chose de connu?

Simple hypothèse avis aux amateurs.

P...... de calculs de convolution de m..........

Je n'ai pas réussi à calculer directement les produits de convolution avec Maple. J'ai pourtant un Intel Core Duo 2 et bien le binome Intel+Maple s'incline devant les produits de conv 1,2,3 et 4. INCREDIBLE !!!!

Une p'tite remarque, il ne faut pas rentrer Heaviside sous Maple pour les e(t), il n'aime pas du tout.

J'y suis tout de même arrivé en décomposant le produit de convolution pas à pas. Maple arrive alors à suivre et me trouve ce qu'il faut.

En revanche, pour e1(t), Maple trouve sin(t) + Dirac(t)= Dirac(t)

oui oui il y a une couille dans le potage....

A demain et bonne nuit

Merci Frédéric pour le fichier Word

Vincent